Question

【題目】已知動圓過點并且與圓相外切，動圓圓心的軌跡為.

（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；

（Ⅱ）過點的直線與軌跡交于、兩點，設直線，設點，直線交于,求證：直線經過定點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據題意，判斷出動點的軌跡方程為雙曲線的右支，然后根據定義即可求得雙曲線的方程。

（Ⅱ）討論當直線斜率存在與不存在兩種情況下直線過定點問題。當斜率不存在時，易得直線過定點的坐標為；當斜率存在時，設出直線方程，聯立曲線方程，消y得到關于

x的一元二次方程，利用韋達定理表示出兩個交點橫坐標間的關系；利用，再證明直線BM經過。

（Ⅰ）由已知，即

所以軌跡為雙曲線的右支，，，，

曲線標準方程

（Ⅱ）由對稱性可知，直線必過軸的定點

當直線的斜率不存在時， ，，，知直線經過點

當直線的斜率存在時，不妨設直線，，

直線 ，當時，，

得，，

下面證明直線經過點，即證，即

即，由，

整理得， ，即

即證經過點，直線過定點