Question

（2012•珠海一模）已知

a

=(sin(

π

2

+x)，cos(π-x))，

b

=(cosx，-sinx)，函數f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A為銳角，f（A）=1，BC=2，B=

π

3

，求AC邊的長．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積的坐標運算寫出函數f（x），利用倍角公式降冪后化積，則周期可求；
（2）把A代入函數解析式，由f（A）=1結合角A的范圍求出角A，然后直接利用正弦定理求AC的長度．

解答：解：（1）由

a

=(sin(

π

2

+x)，cos(π-x))，

b

=(cosx，-sinx)，
所以f(x)=

a

•

b

=sin(

π

2

+x)cosx-sinxcos(π-x)
=cos²x+sinxcosx=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x
=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

．
所以T=π；
（2）∵f（A）=cos²A+sinAcosA=1，∴sinAcosA=1-cos²A=sin²A．
∵sinA≠0，∴sinA=cosA．
又A為銳角，∴A=

π

4

．
由

AC

sinB

=

BC

sinA

，∴

AC

sin π 3

=

2

sin π 4

．
所以AC=

6

．
所以，AC邊的長等于

6

．

點評：本題考查了平面向量數量積的運算，考查了兩角和與差的正弦函數，考查了三角函數周期的求法，考查了利用正弦定理求解三角形，解答的關鍵是熟記有關公式，是中檔題．