【題目】如圖.四棱柱
的底面是直角梯形，
，
，
，四邊形
和
均為正方形.
（1）證明；平面
平面ABCD；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2) 
【解析】
（1）證明
平面ABCD，再利用面面垂直判定定理證明
（2）由（1）知
，AB，AD兩兩互相垂直，故以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建系，求出兩個半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可
（1）證明：因為四邊形
和
均為正方形，所以
，
.
又
，所以平面ABCD.
因為
平面，所以平面
平面ABCD.
（2）（法—）由（1）知，AB，AD兩兩互相垂直，故以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系
，則
，
，
，
，
則
，
.
設
為平面
的法向量，則
令
，則
，
，所以
.
又因為平面ABCD，所以
為平面ABCD的一個法向量.
所以
.
因為二面角
是銳角.所以二面角的余弦值為.
（法二）過B作
于H，連接
.
由（1）知
平面ABCD，則
，
而
，所以
平面
所以
從而
為二面角的平面角.
由等面積法，可得
，即
.
所以
，
故
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的質量指標值，由測量結果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質量指標值落在區間
，
，
內的頻率之比為
．
（Ⅰ）求這些產品質量指標值落在區間內的頻率；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在區間
內抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意
抽取2件產品，求這2件產品都在區間
內的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
、
分別是
、
的中點.
（1）設棱
的中點為
，證明：
平面
；
（2）若
，
，
，且平面
平面
.
（i）求三棱柱的體積
；
（ii）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某單位共有10名員工，他們某年的收入如下表：
員工編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年薪（萬元） | 4 | 4.5 | 6 | 5 | 6.5 | 7.5 | 8 | 8.5 | 9 | 51 |
（1）求該單位員工當年年薪的平均值和中位數；
（2）已知員工年薪收入與工作年限成正相關關系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為4萬元、5.5萬元、6萬元、8.5萬元，預測該員工第六年的年薪為多少？
附：線性回歸方程
中系數計算公式分別為：
，
，其中
、
為樣本均值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年，依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及視頻態的信息負載力，短視頻快速崛起；與此同時，移動閱讀方興未艾，從側面反應了人們對精神富足的一種追求，在習慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后，部分用戶依舊對有著傳統文學底蘊的嚴肅閱讀青睞有加．
某讀書APP抽樣調查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時長（單位：分鐘），繪制成頻率分布直方圖如下，其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”．
（1）請填寫以下
列聯表，并判斷是否有99．5%的把握認為用戶活躍與否與所在城市有關？
活躍用戶 | 不活躍用戶 | 合計 | |
城市M | |||
城市N | |||
合計 |
（2）以頻率估計概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設這3名用戶中活躍用戶的人數為
，求的分布列和數學期望．
（3）該讀書APP還統計了2018年4個季度的用戶使用時長y（單位：百萬小時），發現y與季度（
）線性相關，得到回歸直線為
，已知這4個季度的用戶平均使用時長為12.3百萬小時，試以此回歸方程估計2019年第一季度（
）該讀書APP用戶使用時長約為多少百萬小時．
附：
，其中
．
| 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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