Question

如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF.

 

 

Answer 1

a或2a

【解析】法一：由已知得B1D⊥平面AC1，

又CF?平面AC1，∴B1D⊥CF，

故若CF⊥平面B1DF，則必有CF⊥DF.

設AF＝x(0＜x＜3a)，則CF2＝x2＋4a2，

DF2＝a2＋(3a－x)2，又CD2＝a2＋9a2＝10a2，

∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，

解得x＝a或2a.

法二：分別以BA、BC、BB1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系B－xyz，

則B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，設F(a,0，m)，D，C(0，a,0)，

＝(a，－a，m)，＝，＝(a,0，m－3a)，

∵CF⊥面B1DF，∴CF⊥B1F，⊥，即·＝0，·＝0，

可得2a2＋m(m－3a)＝0，解得m＝a或2a.