Question

已知向量i=（1，0），j=（0，1），函數(shù)f（x）=ax³+bx²+c（a≠0）的圖象在y軸上的截距為1，在x=2處切線的方向向量為（a-c）i-12bj，并且函數(shù)當x=1時取得極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）由圖象在y軸上的截距為1，可求c=1；在x=2處切線的方向向量為（a-c）i-12bj，并且函數(shù)當x=1時取得極值，可得；

f′(1)=0 f′(2)= -12b a-1

，從而可求a，b的值；（2）由f′（x）=12x²-12x=12x（x-1）＞0，從而可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）x=0時，函數(shù)取極大值f（0）=1，x=1時，函數(shù)取極小值（1）=-1

解答：解：（1）f（0）=1，c=1∴f′（x）=3ax²+2bx；

f′(1)=0 f′(2)= -12b a-1

，

a=4 b=-6

，∴f（x）=4x³-6x²+1
（2）f′（x）=12x²-12x=12x（x-1）＞0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）和（-∞，0）．
（3）由（2）知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）和（-∞，0），由f′（x）＜0得單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），∴x=0時，函數(shù)取極大值f（0）=1，x=1時，函數(shù)取極小值（1）=-1

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，應注意挖掘問題的本質(zhì)．