Question

【題目】已知定義在上的奇函數.

（Ⅰ） 求的值；

（Ⅱ） 若存在，使不等式有解，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）已知函數滿足，且規定，若對任意，不等式恒成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）6.

【解析】

（Ⅰ）定義在上的奇函數，所以利用特殊值求解，然后檢驗即可. （Ⅱ）首先根據定義證明函數在上單調遞減，然后再根據單調性將等價轉化為有解，即，求二次函數的最小值，即可解出實數的取值范圍. （Ⅲ）首先根據，，解出，代入得到解析式，令，（），則，利用基本不等式求最值求出.

（Ⅰ）是上的奇函數，,

,

當時，,

此時是奇函數成立.

；

（Ⅱ）任取且，

，

,

上為減函數.

若存在，使不等式有解，則有解

，當時，， ,

（Ⅲ）,

,

,

，且也適合,

,

任意，不等式恒成立,

,

令，

令,

任取且，

，

當時，，上為增函數.

當時，，上為減函數.

時即,

,

,

,

，且,

，同理在上是增函數，在上是減函數.

時,的最大值為6.