Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是軸與圓的一個(gè)公共點(diǎn)（異于原點(diǎn)），拋物線的準(zhǔn)線為，上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到的距離等于.

（1）求的方程；

（2）直線與圓相切且與相交于，兩點(diǎn)，若的面積為4，求的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由拋物線定義可得，點(diǎn)P到l的距離等于|PF|=|PQ|，以及點(diǎn)P在線段FQ的中垂線上，則解得p=2，即可求出E的方程，
（2）設(shè)m的方程為x=ny+b，A（x1，y1），B（x1，y1），根據(jù)直線m與圓C相切，可得b2-4b=4n2，再根據(jù)韋達(dá)定理和三角形的面積公式以及弦長(zhǎng)公式即可求出b的值，即可求出m的方程

（1）由已知得，焦點(diǎn)，

由拋物線定義得，點(diǎn)到的距離等于，

因?yàn)?/span>，所以，所以、兩點(diǎn)不重合，

所以點(diǎn)在線段的中垂線上，則，

解得，故的方程為.

（2）由已知，直線不與軸垂直，設(shè)的方程為，，，

則，所以，

由化簡(jiǎn)得，

判別式，且

直線與軸交于點(diǎn)，

，

所以，

因?yàn)?/span>，或，所以，，

所以方程是或.

解法二：（1）由已知得，設(shè)，的準(zhǔn)線方程為，

由到的距離等于得，，

則，解得：或，

因?yàn)?/span>，所以，故的方程為.

（2）由已知，直線不與軸垂直，設(shè)的方程為，，，

則，所以，

由化簡(jiǎn)得，

判別式，且

所以

，

又原點(diǎn)到直線的距離，

所以，所以，

因?yàn)?/span>，或，所以，，

所以的方程是或.