Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上．若右焦點(diǎn)到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點(diǎn)M、N．當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+y2=1，由題設(shè)

| a2-1 +2 2 |

2

=3解得a²=3，故所求橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＞0，即m²＜3k²+1．由此可推導(dǎo)出m的取值范圍．

解答：解：（1）依題意可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+y2=1，
則右焦點(diǎn)F（

a2-1

，0）由題設(shè)

| a2-1 +2 2 |

2

=3
解得a²=3故所求橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0
由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＞0，即m²＜3k²+1①
∴xp=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

從而yp=kxp+m=

m

3k2+1

∴kAp=

yp+1

xp

=-

m+3k2+1

3mk

又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
則-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

即2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2由②得k2=

2m-1

3

＞0解得m＞

1

2

．
故所求m的取范圍是（

1

2

，2）．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．