Question

已知橢圓的一個頂點為（-2，0），焦點在x軸上，且離心率為

2

2

．
（1）求橢圓的標準方程．
（2）斜率為1的直線l與橢圓交于A、B兩點，O為原點，當△AOB的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意得a=2，e=

c

a

=

2

2

．由此能求出所求橢圓的標準方程．
（2）將直線l：y=x+b代入橢圓

x2

4

+

y2

2

=1中有3x²+4bx+2b²-4=0，由根的判別式求出b的取值范圍，再由韋達定理求出|AB|=

4

3

6-b2

，然后由點O到直線l的距離d=

|b|

2

求出△AOB的面積，由此能求出所求的直線方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意得a=2，e=

c

a

=

2

2

∴c=

2

∴b²=a²-c²=2所以所求橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1
（2）將直線l：y=x+b代入橢圓

x2

4

+

y2

2

=1中有3x²+4bx+2b²-4=0
由△=（4b）²-4×3（2b²-4）=-8b²+48＞0得-

6

＜b＜

6

由韋達定理得x1+x2=-

4

3

b，x1•x2=

2b2-4

3

∴|AB|=

4

3

6-b2

又點O到直線l的距離d=

|b|

2

∴S△ABC=

1

2

d|AB|=

2

3 2

6b2-b4

=

2

3 2

-(b2-3)2+9

∴當b²=3（滿足-

6

＜b＜

6

）時，S_△ABC有最大值

2

．此時b=±

3

∴所求的直線方程為y=x±

3

點評：本題考查直線圓錐曲線的位置關(guān)系和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理選用．