Question

【題目】如圖，平面平面，且，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線AB與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據題意，過點A作，垂足為O，連接OD，證明，根據線面垂直的判定定理，證明平面AOD，再根據線面垂直的性質定理證明。

（Ⅱ）設點B在平面ADC上的投影為點H，則就是直線AB與平面ADC所成角.法一找直角三角形，利用勾股定理求得，從而求出，法二利用等體積法求出，從而求得；法三建立坐標系，利用向量法，求出平面的法向量，再根據利用向量法求夾角余弦值求得。

（Ⅰ）證明：過點A作，垂足為O，連接OD.

由，得，

而，，則與全等，

故，即，

而，故平面AOD ，

而平面AOD，故；

（Ⅱ）解法1：設點B在平面ADC上的投影為點H，

則就是直線AB與平面ADC所成角.

由AB=BC=BD，可知HA=HC=HD，點H為△ADC的外心

由（Ⅰ）知，就是直二面角的平面角，故.

設，利用勾股定理等知識，求得 ，

因此，，

故直線AB與平面ADC所成角的余弦值為.

解法2：設點B在平面ADC上的投影為點H，

則∠BAH就是直線AB與平面ADC所成角.

由（Ⅰ）知，就是直二面角的平面角，故，

設，利用，求得 ，

因此，，.

故直線AB與平面ADC所成角的余弦值為.

解法3：

由（Ⅰ）知，就是直二面角的平面角，故 ，

建立如圖的空間直角坐標系Oxyz，設，

則，，，.

于是，，， ，

設平面ADC的法向量為，則，即.

解得 ，

設所求線面角為，則， ，

因此，，故直線AB與平面ADC所成角的余弦值為.