Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的頂點在原點，且該拋物線經過點，其焦點在軸上.

（Ⅰ）求過點且與直線垂直的直線的方程；

（Ⅱ）設過點的直線交拋物線于，兩點，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）12.

【解析】試題分析：（I）設拋物線方程為，由點在上，得，從而得點的坐標為，又直線的斜率為1，從而其垂線的斜率為-1，根據點斜式可得結果；（II）直線的方程是，.將代入，有，利用求根公式求得，由知 ，化簡得，根據兩點間距離公式，可化為，利用基本不等式求解即可.

試題解析：（Ⅰ）設拋物線方程為，由點在上，得.從而點的坐標為.又直線的斜率為1，從而其垂線的斜率為-1，因此所求直線方程為.

（Ⅱ）設點和的坐標為和，直線的方程是，.

將代入，有，解得.

由知 ，化簡得.

因此 .

所以 ，當且僅當時取等號，即的最小值為12.