Question

心理學家研究某位學生的學習情況發現：若這位學生剛學完的知識存留量為1，則x 天后的存留量；若在t（t＞0）天時進行第一次復習，則此時這似乎存留量比未復習情況下增加一倍（復習的時間忽略不計），其后存留量y₂隨時間變化的曲線恰好為直線的一部分，其斜率為，存留量隨時間變化的曲線如圖所示．當進行第一次復習后的存留量與不復習的存留量相差最大時，則稱此時刻為“二次復習最佳時機點”
（1）若a=-1，t=5，求“二次復習最佳時機點”；
（2）若出現了“二次復習最佳時機點”，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）t天時進行第一次復習后的存留量是過點（t，），斜率為k=的直線，方程為，不復習時x 天后的存留量為，所以第一次復習后的存留量與不復習的存留量的差為y=y₂-y₁；把a=-1，t=5代入，整理可得所求．
（2）知識留存量函數y=+-（其中t＞4，且t、a是常數，x是自變量），當y取最大值時，求出對應的t、a取值范圍．
解答：解：（1）設第一次復習后的存留量與不復習的存留量之差為y，
由題意知，，
所以，；
當a=-1，t=5時，=≤=，
當且僅當x=14時取等號，
所以“二次復習最佳時機點”為第14天．
（2）知識留存量函數=
≤，
當且僅當時取等號，
由題意，所以-4＜a＜0．
點評：本題考查了含有字母參數的函數類型的應用，題目中構造條件，利用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求最值，有些困難，屬于較難題目．