Question

（08年南昌市一模理）（12分）如圖，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點.

（1）求與平面A₁C₁CA所成角的大小；

（2）求二面角B―A₁D―A的大小；

（3）在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，確定其位置并證明結論；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

解析：（1）∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱  ∴CC₁⊥底面ABC  ∴CC₁⊥BC

    ∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A₁C₁CA ………………2分

  ∴為與平面A₁C₁CA所成角

∴與平面A₁C₁CA所成角為……………4分

（2）分別延長AC，A₁D交于G. 過C作CM⊥A₁G 于M，連結BM

∵BC⊥平面ACC­₁A₁   ∴CM為BM在平面A₁C₁CA的內射影

∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角……6分

  平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

   , 

即二面角B―A₁D―A的大小為…………………8分

（3）在線段AC上存在一點F，使得EF⊥平面A₁BD………10分

其位置為AC中點，證明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱， ∴B₁C₁//BC

∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA內的射影為C₁F ，F為AC中點 ∴C₁F⊥A₁D 

 ∴EF⊥A₁D ……11分

同理可證EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A₁BD …………12分

∵E為定點，平面A₁BD為定平面   ,點F唯一

解法二：（1）同解法一……………………4分

（2）∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱住   C₁C=CB=CA=2 ,

AC⊥CB  D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點, 建立如圖所示的坐標系得

C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A­₁（0，2，2）

D（0，0，1）  E（1，0，2）………………6分

  設平面A₁BD的法向量為

 

……………8分

平面ACC₁A₁­的法向量為=（1，0，0）  …9分

即二面角B―A₁D―A的大小為   ……………10分

（3）在線段AC上存在一點F，設F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD    由（2）知，當且僅當//…………11分

 … ……13分   

∴存在唯一一點F（0，1，0）滿足條件. 即點F為AC中點……12分