Question

【題目】已知拋物線的焦點為為拋物線上位于第一象限內的點，過點的直線交拋物線于另一點，交軸的正半軸于點．

（1）若點的橫坐標為，且與雙曲線的實軸長相等，求拋物線的方程；

（2）對于（1）中求出的拋物線，若點，記點關于軸的對稱點為（不同于點），直線交軸于點．

①求證：點的坐標為；

②若，求點到直線的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①見證明； ②

【解析】

（1）由題意得，故，于是可得拋物線方程．（2）①設直線的方程為，代入拋物線方程后得到關于的二次方程，然后結合根與系數的關系及三點共線并由向量的共線可證得結論成立；②由可得為等腰直角三角形，所以，整理可得，兩邊平方后結合根與系數的關系得到，且．再由題意得到，令，可得，最后構造函數可得所求范圍．

（1）由題意，知，

∵與雙曲線的實軸長相等，

∴，解得，

∴拋物線的方程為．

（2）①由題意，可設直線的方程為，

由消去整理得，

∵，

∴．

設，則，

由題意得，

設點坐標為，則，

由題意知，

∴，

即．

又，

∴，

顯然，

∴，

∴點的坐標為．

②由題意，為等腰直角三角形，

∴，即，

∴，

∴，即，

∴，且，

又，所以．

又點到直線的距離．

令，則，且，

∴．

設，則在上為減函數，

∴，即，

∴的取值范圍為．