Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，經過點 且斜率為k的直線l與橢圓 有兩個不同的交點P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數k，使得向量 與 共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知條件，直線l的方程為 ，
代入橢圓方程得 ．
整理得 ①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q，等價于①的判別式△= ，
解得 或 ．即k的取值范圍為 ．
（Ⅱ）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則 ，
由方程①， ． ②
又 ． ③
而 ．
所以 與 共線等價于 ，
將②③代入上式，解得 ．
由（Ⅰ）知 或 ，
故沒有符合題意的常數k
【解析】（1）直線l與橢圓有兩個不同的交點，即方程組有2個不同解，轉化為判別式大于0．（2）利用2個向量共線時，坐標之間的關系，由一元二次方程根與系數的關系求兩根之和，解方程求常數k．
【考點精析】關于本題考查的向量的共線定理和平面的概念、畫法及表示，需要了解設，，其中，則當且僅當時，向量、共線；經過不在同一條直線上的三點確定一個面;平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長才能得出正確答案．