Question

【題目】已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．
（1）若 ∥ ，求| |
（2）若 與 夾角為銳角，求x的取值范圍．
（3）若| |=2，求與 垂直的單位向量 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：若 ，則﹣x﹣（2x+3）x=0，解得x=0或x=﹣2，

當(dāng)x=0時(shí)， =（﹣2，0），∴| |=2，

當(dāng)x=﹣2時(shí)， =（2，﹣4），∴| |=2

（2）解：若 與 夾角為銳角，則 ＞0，即2x+3﹣x2＞0，∴﹣1＜x＜3，

由（1）可知當(dāng)x=0時(shí)， ，此時(shí) ， 的夾角為0，不符合題意，舍去，

∴x的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，3）

（3）解：∵| |=2，∴1+x2=4，解得x=± ，

設(shè) =（m，n），則m+nx=0，且m2+n2=1，

∴當(dāng)x= 時(shí)， ，解得 或 ；

當(dāng)x=﹣ 時(shí)， ，解得 或 ，

所以當(dāng)x= 時(shí)， 的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）或（﹣ ， ），

當(dāng)x=﹣ 時(shí)， 的坐標(biāo)為（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）

【解析】（1）根據(jù)向量平面列方程解出x，求出 的坐標(biāo)即可得出| |；（2）令cos＜ ＞＞0，解出x，再去掉 共線的情況即可；（3）根據(jù)| |=2計(jì)算x，設(shè) =（m，n），列方程組解出即可．