Question

 (本小題滿分12分)  如圖所示，已知圓為圓上一動點，點在上，點在上，且滿足的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點且斜率為k的動直線交曲線于A、B兩點，在y軸上是否存在定點G，滿足使四邊

形為矩形？若存在，求出G的坐標和四邊形面積的最大值；若不存

在，說明理由。

Answer 1

解：Ⅰ）

∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|.…………………………2分

又

∴動點N的軌跡是以點C（－1，0），A（1，0）為焦點的橢圓.

且橢圓長軸長為焦距2c=2.   ……………4分

∴曲線E的方程為………………5分

   （2）動直線的方程為：

由得

設

則       …………6分

假設在y上存在定點G（0，m），滿足題設，則

由假設得對于任意的恒成立，

即解得m=1。

因此，在y軸上存在定點G，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，

點G的坐標為（0，1）              …………9分

這時，點G到AB的距離

設則

得

所以

當且僅當時，上式等號成立。

因此，面積的最大值是              …………12分