Question

等差數列{a_n}的前n項和為S_n，首項a₁與公差d均為自然數，已知集合M={（a₁，d）|S₁₁＜143且a₁，a₂，a₄成等比數列}，若函數f(x)=log

1

2

(x+a)+b恰好經過集合M中的兩個點，則滿足條件的函數有

1

個．

Answer 1

分析：由a₁，a₂，a₄成等比數列，知a₁×（a₁+3d）=（a₁+d）²，解得d=a₁，所以，S_n=

1

2

nd（n+1），因為S₁₁=66d＜143，且d和a₁為自然數，所以d=1或d=2，M={（1，1），（2，2）}，故滿足條件的函數有1個．

解答：解：∵a₁，a₂，a₄成等比數列，
∴a₁×（a₁+3d）=（a₁+d）²，
a₁²+3d×a₁=a₁²+2d×a₁+d²，
∵首項a₁與公差d均為自然數，
解得d=a₁，即a_n=nd，
所以，S_n=

1

2

nd（n+1），
因為S₁₁=66d＜143，且d和a₁為自然數
∴d=1，或d=2
∴M={（1，1），（2，2）}，
∴滿足條件的函數有1個．
故答案為：1．

點評：本題考查函數與數列的綜合，解題時要認真審題，注意等差數列和等比數列的前n項和公式和通項公式的靈活運用．