Question

已知函數f（x）=e^x（x³-6x²+3x+a），
（Ⅰ）當a=1時，求函數在（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）有三個極值點，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）定義：如果曲線C上存在不同點的兩點A（x₁，y₁ ），B（x₂，y₂ ），過AB的中點且垂直于x軸的直線交曲線C于點M，使得直線AB與曲線C在M處的切線平行，則稱曲線C有“平衡切線”．
試判斷函數G（x）=[f'（x）-f（x）]•e^-x+e^x的圖象是否有“平衡切線”，為什么？

Answer 1

分析：先對函數求導數f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3），
（Ⅰ）當a=1時，f'（0）及f（0）均可求，進而可得函數在（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）由于f（x）有三個極值點?f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3）有三個零點?g（x）=x³-3x²-9x+a+3有三個零點，
即要求g（x）的極大值為正，且極小值為負，則可求出實數a的取值范圍；
（Ⅲ）先判定函數G（x）的解析式，再求出曲線在點M處的切線斜率及直線AB的斜率，整理后構建新函數，
借助于新函數的單調性來判斷函數G（x）=[f'（x）-f（x）]•e^-x+e^x的圖象是否有“平衡切線”．

解答：解：f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3）
（Ⅰ）當a=1時f'（0）=4，f（0）=1
函數在（0，f（0））處的切線方程為y=4x+1
（Ⅱ） f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3）
設g（x）=x³-3x²-9x+a+3，則g'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）
∴g（x）的極大值為g（-1）=a+8，極小值為g（3）=a-24，
由于f（x）有三個極值點?f'（x）有三個零點?g（x）有三個零點
∴g（x）的極大值為正，且極小值為負，即 a+8＞0，a-24＜0
可得-8＜a＜24
（Ⅲ）由題意知，G（x）=[f'（x）-f（x）]e^-x+e^x=e^x+3x²-12x+3
∴G'（x）=e^x+6x-12
故G（x）的圖象在M處的切線的斜率為k0=G′(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

+3(x1+x2)-12
直線AB的斜率kAB=

G(x1)-G(x2)

x1-x2

=

ex1-ex2

x1-x2

+3(x1+x2)-12
如果k₀=k_AB，則

ex1-ex2

x1-x2

=e

x1+x2

2

則 ex1-ex2=e

x1+x2

2

(x1-x2)可化為e

x1-x2

2

-e

x2-x1

2

=(x1-x2)
令

x1-x2

2

=t，上式即為e^t-e^-t=2t
構造函數h（x）=e^x-e^-x-2x，則h'（x）=e^x+e^-x-2≥0，則h（x）在R上是增函數，
因為h（0）=0，所以h（t）=0的充要條件是t=0．此時 x₁=x₂與條件矛盾．
所以G（x）的圖象沒有“平衡切線”

點評：本題考查函數與導數的綜合應用，涉及根的個數的判斷，屬中檔題．