Question

如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點． 求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）BD⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）連接OE，根據三角形中位線定理，可得PA∥EO，進而根據線面平行的判定定理，得到PA∥平面BDE．
（2）根據線面垂直的定義，可由PO⊥底面ABCD得到BD⊥PO，結合四邊形ABCD是正方形及線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC

解答：證明（1）連接OE，
在△CAP中，CO=OA，CE=EP，
∴PA∥EO，
又∵PA?平面BDE，EO?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）∵PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PO
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
∵AC∩PO=O，AC，PO?平面PAC
∴BD⊥平面PAC

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間線面關系的判定定理是解答的關鍵．