Question

如圖，已知兩個正方行ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點．
（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正值弦；
（2）用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．

Answer 1

分析：（1）（解法一）由面面垂直的性質定理，取CD的中點G，連接MG，NG，再證出∠MNG是所求的角，在△MNG中求解；
（解法二）由垂直關系建立空間直角坐標系，求出平面DCEF的法向量，再用向量的數量積求解；
（2）由題意假設共面，由AB∥CD推出AB∥平面DCEF，再推出AB∥EN，由得到EN∥EF，即推出矛盾，故假設不成立；

解答：解：（1）解法一：

取CD的中點G，連接MG，NG．設正方形ABCD，DCEF的邊長為2，
則MG⊥CD，MG=2，NG=

2

．
∵平面ABCD⊥平面DCED，
∴MG⊥平面DCEF，
∴∠MNG是MN與平面DCEF所成的角．
∵MN=

MG2+GN2

=

6

，∴sin∠MNG=

6

3

為MN與平面DCEF所成角的正弦值
解法二：

設正方形ABCD，DCEF的邊長為2，以D為坐標原點，
分別以射線DC，DF，DA為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系如圖．
則M（1，0，2），N（0，1，0），可得

MN

=（-1，1，-2）．
又∵

DA

=（0，0，2）為平面DCEF的法向量，
∴cos（

MN

，

DA

）=

MN • DA

|| MN || DA |

=-

6

3

•
∴MN與平面DCEF所成角的正弦值為cos(

MN

，

DA

)=

6

3

•
（2）假設直線ME與BN共面，
則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN
由已知，兩正方形不共面，∴AB?平面DCEF．
又∵AB∥CD，∴AB∥平面DCEF．
∵面EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，∴AB∥EN．
又∵AB∥CD∥EF，
∴EN∥EF，這與EN∩EF=E矛盾，故假設不成立．
∴ME與BN不共面，它們是異面直線．

點評：本題考查了線面角的求法，可有面面垂直的性質定理用兩種方法來求解；還考查了用反證法證明，用了線線平行與線面平行的相互轉化來推出矛盾，考查了推理論證能力和邏輯思維能力．