Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+2a-4不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n），n∈N^*
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

an

2n

求{b_n}的前n次和T_n．
（3）在各項不為零的數列{c_n}中，所有滿足Cm C_m+1＜0的正整數m的個數稱為這個數列{C_n}的變號數，若C_n=

1

a

-

1

an

（n∈N^*），求數列{C_n}的變號數．

Answer 1

分析：（1）先利用條件求出a，代入找到S_n的表達式，再利用S_n和a_n的關系來求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法對數列{b_n}進行求和即可（注意分情況討論）．
（3）先利用前2問的條件求出數列{c_n}的通項以及前幾項，再利用函數的單調性就可求數列{C_n}的變號數．

解答：解：（1）因為f（x）≤0的解集有且只有一個元素，所以對應方程的△=0?a=4，
故f（x）=x²-4x+4，
所以S_n=f（n）=n²-4n+4?a_n=

s1     n=1    sn-sn-1     n≥ 2

?a_n=

1(n=1) 2n-5(n≥2)

（2）由（1）知b1=

1

2

，bn=

2n-5

2n

(n≥2)（3分）

所以當n=1時，T₁=

1

2

當n≥2時，利用錯位相減求和法可得Tn=1-

2n-1

2n

，
綜合，Tn=1-

2n-1

2n

（n∈N′），（9分）
（3）Cn=

- 3 4 (n=1) 1 4 - 1 2n-5 (n≥2)

所以c₁=-

3

4

，c₂=

3

4

，c₃=-

3

4

，c₄=-

1

12

，c₅=

1

20

，
又因為n≥5時，Cn≥

1

4

-

1

2×5-5

≥

1

20

＞0
故變號數為3．（4分）

點評：本題是對數列知識和函數知識的綜合考查．涉及到已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式，根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗證n=1時通項是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）；若不成立，則通項公式為分段函數．