Question

【題目】若數列滿足：對于任意均為數列中的項，則稱數列為“ 數列”．

（1）若數列的前項和，求證：數列為“ 數列”；

（2）若公差為的等差數列為“ 數列”，求的取值范圍；

（3）若數列為“ 數列”，，且對于任意，均有，求數列的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）先利用項和公式計算出an＝4n－2，再利用“ 數列”證明.(2)利用“ 數列”的性質求的取值范圍.(3)先證明數列{an}為等差數列，再轉化an＜a－a＜an＋1，再轉化為n(2t2－t)＞t2－3t＋1，n(t－2t2)＞2t－t2－1，分析得到公差t＝，求出數列的通項公式.

詳解：（1）當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，

又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以an＝4n－2．

所以an＋|an＋1－an＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2為數列{an}的第n＋1項，

因此數列{an}為“T 數列”．

（2）因為數列{an}是公差為d的等差數列，

所以an＋|an＋1－an＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．

因為數列{an}為“T 數列”，

所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝am，即有(m－n) d＝|d|．

①若d≥0，則存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，

②若d＜0，則m＝n－1．

此時，當n＝1時，m＝0不為正整數，所以d＜0不符合題意． 綜上，d≥0．

（3）因為an＜an＋1，所以an＋|an＋1－an＋2|＝an＋an＋2－an＋1．

又因為an＜an＋an＋2－an＋1＝an＋2－(an＋1－an)＜an＋2，且數列{an}為“T數列”，

所以an＋an＋2－an＋1＝an＋1，即an＋an＋2＝2an＋1，

所以數列{an}為等差數列．

設數列{an}的公差為t(t＞0)，則有an＝1＋(n－1)t，

由an＜a－a＜an＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，

整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1， ①

n(t－2t2)＞2t－t2－1． ②

若2t2－t＜0，取正整數N0＞，

則當n＞N0時，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，與①式對于任意n∈N*恒成立相矛盾，

因此2t2－t≥0．

同樣根據②式可得t－2t2≥0，

所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．

經檢驗當t＝時，①②兩式對于任意n∈N*恒成立，

所以數列{an}的通項公式為an＝1＋ (n－1)＝．