Question

【題目】如圖，已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于，兩點，點在準線上的投影為，若是拋物線上一點，且.

（1）證明：直線經過的中點；

（2）求面積的最小值及此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）面積最小值為16，此時直線方程為.

【解析】

（1）由題意得拋物線的焦點坐標和準線方程，設，直線：，可得的坐標，聯立方程組，結合韋達定理，可得的斜率和直線的斜率，進而可得直線的方程，與拋物線聯立可得兩根之和，可得中點的縱坐標與的相同，即可證出直線經過的中點；

（2）根據弦長公式求出，利用點到直線的距離公式，求出點到直線的距離為，運用，結合均值不等式求出，即可求出直線的方程.

解：（1）由題意得拋物線的焦點，準線方程為，

設，直線：，

則，

聯立和，

可得，

顯然，可得，

因為，，

所以，

故直線：，

由，

得.

∴，，

所以的中點的縱坐標，即，

所以直線經過的中點.

（2）所以

，

設點到直線的距離為，

則.

所以，

當且僅當，即，

時，直線的方程為：，

時，直線的方程為：.

另解：

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