Question

點M是邊長為2的正方形ABCD內或邊界上一動點，N是邊BC的中點，則

AN

•

AM

的最大值是

6

．

Answer 1

分析：以A為坐標原點，以AD方向為x軸正方向，在平面內建立合適的坐標系，將向量的數量積用坐標表示，再利用線性規劃方法解決問題．

解答：解：以A為坐標原點，以AD方向為x軸正方向，
以AB方向為y軸負方向建立坐標系，則

AN

=（1，-2）
設M點坐標為（x，y），則 

AM

=（x，y），則0≤x≤2，-2≤y≤0
令Z=

AN

•

AM

=x-2y，由題意可得Z的最大值在正方形的頂點處取得，
將A，B，C，D四點坐標依次代入得：ZA=0，ZB=4，ZC=6，ZD=2，故Z=

AN

•

AM

的最大值為6．
故答案為：6．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式的應用，向量的主要功能就是數形結合，將幾何問題轉化為代數問題，但關鍵是建立合適的坐標系，將向量用坐標表示，再將數量積運算轉化為方程或函數問題．