Question

已知橢圓C:3x²+4y²=12,試確定m的取值范圍,使得對于直線l:y=4x+m,橢圓C上有不同的兩點關于這條直線對稱.

Answer 1

思路分析:解此題的關鍵是構造不等式來求m的范圍,一般采用判別式,或點與曲線的位置關系.

解法一:設橢圓C上關于直線l對稱的兩點為P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),其所在直線方程為y=-x+b,代入橢圓方程3x²+4y²=12.

    整理得13x²-8bx+16b²-48=0,

∵x₁≠x₂,

∴Δ=-12(4b²-13)＞0.

解得-＜b＜.                                                         ①

又∵,

而點()又在直線y=4x+m上,

∴m=.                                            ②

把①代入②得m的取值范圍是-＜m＜.

解法二:由解法一知2x₀=x₁+x₂=,x₁x₂=.

其中PQ的中點坐標為M(x₀,y₀),

由

消去y₀,把x₀=b代入可解得m=-b,x₀=-m,

根據中點M的位置,必有(x₁-x₀)(x₂-x₀)＜0,即x₁x₂-x₀(x₁+x₂)+x₀²＜0.

由此解得-＜m＜.

解法三:設橢圓上關于l對稱的兩點為P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),PQ的中點M(x₀,y₀).

則可求得.                                           ①

又點M在l上,

∴y₀=4x₀+m.                                                               ②

由①②聯立解得x₀=-m,y₀=-3m.

∵M(-m,-3m)在橢圓的內部,

∴3(-m)²+4(-3m)²＜12,

解得-＜m＜.