Question

【題目】已知圓心在y軸上的圓C經過點A（1，2）和點B（0，3）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，且被圓C截得的弦長為 ，求l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，得線段AB的中點坐標為（ ， ），
直線AB的斜率kAB= =﹣1，
所以線段AB的垂直平分線的方程為y﹣ =x﹣ ，即x﹣y+2=0．
由題意，圓C的圓心C在直線x﹣y+2=0上，又在y軸上，所以C（0，2），
半徑r=|BC|=1，所以圓C的方程為x2+（y﹣2）2=1． …．（6分）
（Ⅱ）由題意，直線不過原點，設方程為x+y﹣a=0，
∵直線被圓C截得的弦長為 ，
∴圓心到直線的距離為 ，
∴ = ，
∴a=1或3，
∴所求直線方程為x+y﹣1=0或x+y﹣3=0，
直線過原點，設直線l的方程為y=kx．∴ = ，
∴k= x，∴所求直線方程為y= x．
綜上所述所求直線為x+y﹣1=0或x+y﹣3=0或y= x
【解析】（Ⅰ）求出線段AB的垂直平分線的方程，結合圓C的圓心C在直線x﹣y+2=0上，又在y軸上，求出圓心坐標與半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）由題意，分類討論，設方程，利用直線被圓C截得的弦長為 ，可得圓心到直線的距離為 ，即可求出直線的方程．