Question

（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的最大值；

（Ⅱ）若對(duì)任意的，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）b的最大值是（Ⅱ）   

【解析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、恒成立問題等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力.

(1) 解：由題設(shè)可知，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

的最大值是

（2）令可看作關(guān)于的一次函數(shù)且單調(diào)遞增，只需即

構(gòu)造函數(shù)得到結(jié)論。

（Ⅰ）解：

由題設(shè)可知，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

的最大值是

（Ⅱ）解：令

可看作關(guān)于的一次函數(shù)且單調(diào)遞增，

只需即

令則，  

令，的對(duì)稱軸為

(ⅰ)對(duì)恒成立，在上單調(diào)遞增，

，不合題意.

(ⅱ) 對(duì)恒成立，在上單調(diào)遞減，

滿足題意.

此時(shí)只需，，

.

(ⅲ)在上，在上，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

此時(shí)只需，

又即

綜上，   

(用分離參數(shù)方法解同樣給分