Question

(本小題滿分13分)已知拋物線上一動點,拋物線內一點,為焦點且的最小值為。

求拋物線方程以及使得|PA|+|PF|最小時的P點坐標;

過(1)中的P點作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于C、D兩點,直線CD是否過一定點? 若是,求出該定點坐標; 若不是,請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 (2,2). 過定點。

【解析】

試題分析：(1)過A,P分別做準線的垂線,設垂足為,則|PF|=|PH|,由圖象可知,當|PA|+|PF|取最小值即是點到準線的距離,此時P點為AA₀與拋物線的交點.故,此時拋物線方程為, P點坐標為(2,2).

(2)設,,直線即

即, 由PA⊥PB有

得代入到中，有,

即即,故直線AB過定點。

考點：拋物線的定義；拋物線的簡單性質；直線與拋物線的綜合應用。

點評：拋物線的定義在考試中經常考到，我們要熟練掌握。此題的第一問解答的關鍵是：利用拋物線的定義把“的最小值”抓化為“點A到準線的距離。”