Question

（本小題滿分16分）
設數列的前項和為，已知（）．
（1）求的值；
（2）求證：數列是等比數列；
（3）抽去數列中的第1項，第4項，第7項，……，第項，……，余下的項順序不變，組成一個新數列，若的前項的和為，求證：．

Answer 1

（1）
（2）見解析
（3）見解析

（1）令n=1和n=2求出數列的前2項；（2）利用已知式子構造遞推式子，作差得出關于的遞推式，然后根據等比數列的概念求出數列的通項；（3）先根據數列的前N項和知識求出，然后利用放縮思想求出的范圍
解：（1）
（2），①
當時，。②
由①-②，得
所以，

是以4為首項，2為公比的等比數列。
（3）由（2）得，
抽去數列中得第1項、第4項、第7項、…、第項得到數列為為
，它的奇數項組成一個以4為首項，8為公比的等比數列，偶數項組成一個以8為首項，8為公比的等比數列。
所以當時





。
當時





。
綜上,