Question

（本題滿分12分）
設函數,曲線在點處的切線方程為.
(1)求的解析式;(2)證明:曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.

Answer 1

(1). (2)曲線上任一點處的切線與直線,
所圍成的三角形的面積為定值

本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用，求解切線方程，以及運用三角形的面積公式求解面積的綜合運用。
（1）根據曲線在點處的切線方程為，說明在x=2處的導數值為7/4,然后利用求導，代值得到結論。
（2）利用切線方程分別得到與x,y軸交點的坐標，然后，運用坐標表示長度得到三角形的面積
解:(1)方程可化為.
當時,. 又,
于是解得 ,故.
(2)設為曲線上任一點,由知曲線在點處的切線方程為
,即.
令得,從而得切線與直線的交點坐標為.
令得,從而得切線與直線的交點坐標為.
所以點處的切線與直線,所圍成的三角形面積
為.故曲線上任一點處的切線與直線,
所圍成的三角形的面積為定值