Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱長都為a，P為線段A₁B上的動點．
（Ⅰ）試確定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小．

Answer 1

分析：【法一】（Ⅰ）利用三角形的中位線，可確定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）先作出二面角P-AC-B的平面角，再進行計算；
【法二】建立空間直角坐標系，（Ⅰ）由

CP

•

AB

=0，可確定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）確定平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結論．

解答：解：【法一】（Ⅰ）當PC⊥AB時，作P在AB上的射影D，連接CD，則AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD，∴D是AB的中點，
又PD∥AA₁，∴P也是A₁B的中點，即A₁P：PB=1．
反之當A₁P：PB=1時，取AB的中點D'，連接CD'、PD'．
∵△ABC為正三角形，∴CD'⊥AB．
由于P為A₁B的中點時，PD'∥A₁A
∵A₁A⊥平面ABC，∴PD'⊥平面ABC，∴PC⊥AB．…6′
（Ⅱ）當A₁P：PB=2：3時，作P在AB上的射影D，則PD⊥底面ABC．
作D在AC上的射影E，連接PE，則PE⊥AC，∴∠DEP為二面角P-AC-B的平面角．
又∵PD∥AA₁，∴

BD

DA

=

BP

PA1

=

3

2

，∴AD=

2

5

a．
∴DE=AD•sin60°=

3

5

a，
又∵

PD

AA1

=

3

5

，∴PD=

3

5

a，∴tan∠PED=

PD

DE

=

3

，∴P-AC-B的大小為∠PED=60°．…12
【法二】以A為原點，AB為x軸，過A點與AB垂直的直線為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，如圖所示，設P（x，0，z），則B（a，0，0）、A₁（0，0，a）、C(

a

2

，

3 a

2

，0)．
（Ⅰ）由

CP

•

AB

=0得(x-

a

2

，-

3 a

2

，z)•(a，0，0)=0，即(x-

a

2

)•a=0，
∴x=

1

2

a，即P為A₁B的中點，也即A₁P：PB=1時，PC⊥AB．…4′
（Ⅱ）當A₁P：PB=2：3時，P點的坐標是(

2a

5

，0，

3a

5

)．
取

m

=(3，-

3

，-2)．則

m

•

AP

=(3，-

3

，-2)•(

2a

5

，0，

3a

5

)=0，

m

•

AC

=(3，-

3

，-2)•(

a

2

，

3 a

2

，0)=0．
∴

m

是平面PAC的一個法向量．
又平面ABC的一個法向量為

n

=(0，0，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…（12分）

點評：本題考查線線垂直，考查面面角，考查利用向量知識解決立體幾何問題，確定平面的法向量是關鍵．