Question

自然狀態下的魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x₁＞0。不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c。
（1）求x_n+1與x_n的關系式；
（2）猜測：當且僅當x₁，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）　 （3）設a=2，b=1，為保證對任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論。

Answer 1

解：（1）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為
因此
即。
（2）若每年年初魚群總量保持不變，則x_n恒等于x₁，n∈N*，從而由（*）式得
 恒等于0，n∈N*
所以，即
因為x₁>0，
所以a>b
猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變。
（3）若b的值使得x_n>0，n∈N*
由x_n+1=x_n（3-b-x_n），n∈N*，
知0＜x_n＜3-b，n∈N*，
特別地，有0＜x₁＜3-b
即0＜b＜3-x₁
而x₁∈（0，2），
所以
由此猜測b的最大允許值是1
下證當x₁∈（0，2），b=1時，都有x_n∈（0，2），n∈N*
①當n=1時，結論顯然成立；
②假設當n=k時結論成立，即x_k∈（0，2），
則當n=k+1時，x_k+1=x_k（2-x_k）>0
又因為x_k+1=x_k（2-x_k）=-（x_k-1）²+1≤1＜2，
所以x_k+1∈（0，2），故當n=k+1時結論也成立
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有x_n∈（0，2）
綜上所述，為保證對任意x₁∈（0，2），都有x_n>0，n∈N*，
則捕撈強度b的最大允許值是1。