Question

自然狀態下的魚類是一種可再生的資源,為持續利用這一資源,需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響.用x_n表示某魚群在第n年年初的總量,n∈N^*且x₁＞0.不考慮其他因素,設在第n年內魚群的繁殖量及被捕撈量都與x_n成正比,死亡量與x_n²成正比,這些比例系數依次為正常數a、b、c.

(1)求x _n+1與x_n的關系式.

(2)猜測:當且僅當x₁、a、b、c滿足什么條件時,每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明)

(3)設a=2,c=1,為保證對任意x₁∈(0,2),都有x_n＞0,n∈N ^*,則捕撈強度b的最大允許值是多少?證明你的結論.

Answer 1

解析:(1)從第n年初到第n+1年初,魚群的繁殖量為ax_n,被捕撈量為bx_n,死亡量為cx_n²,因此x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx_n²,n∈N^*,(*)?

即x_n+1=x_n(a-b+1-cx_n),n∈N^*.(**)?

(2)若每年年初魚群總量保持不變,則x_n恒等于x₁,n∈N^*,?

從而由(*)式得x_n(a-b-cx_n)恒等于0,n∈N^*,?

所以a-b-cx₁=0,即x₁=.?

因為x₁＞0,所以a＞b.?

猜測:當且僅當a＞b,且x₁=時,每年年初魚群的總量保持不變.?

(3)若b的值使得x_n＞0,n∈N^*.?

由x_n+1=x_n(3-b-x_n),n∈N^*,知0＜x_n＜3-b,n∈N^*,特別地,有0＜x₁＜3-b,即0＜b＜3-x₁.??

而x₁∈(0,2),所以b∈(0,1］.?

由此猜測b的最大允許值是1.?

下證當x₁∈(0,2),b=1時,都有x_n∈(0,2),n∈N^*.?

①當n=1時,結論顯然成立.?

②假設當n=k時結論成立,即x_k∈(0,2),

則當n=k+1時,x_k+1=x _k(2-x_k)＞0.??

又因為x_k+1=x _k(2-x_k)=-(x_k-1)²+1≤1＜2,?

所以x_k+1∈(0,2).故當n=k+1時結論也成立.?

由①②可知對于任意的n∈N^*,都有x_n∈(0,2).?

綜上所述,為保證對任意x_n∈(0,2),都有x_n＞0,n∈N^*,則捕撈強度b的最大允許值是1.