Question

已知函數f（x）=lnax（a≠0，a∈R），g(x)=

x-1

x

．
（Ⅰ）當a=3時，解關于x的不等式：1+e^f（x）+g（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=1時，記h（x）=f（x）-g（x），過點（1，-1）是否存在函數y=h（x）圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）把a=3代入化簡后不等式易解；
（Ⅱ）把恒成立問題轉化為函數的最值來求解；
（Ⅲ）設出切點，用導數工具刻畫出函數的單調性和關鍵點，進而得出切線的情況．

解答：解：（I）當a=3時，原不等式可化為：1+e^ln3x+

x-1

x

＞0；
等價于

1+3x+ x-1 x ＞0 3x＞0

，解得x＞

1

3

，
故解集為(

1

3

，+∞)
（Ⅱ）∵lnax≥

x-1

x

對x≥1恒成立，所以lna+lnx≥

x-1

x

⇒lna≥1-

1

x

-lnx，
令h(x)=1-

1

x

-lnx，h′(x)=

1

x2

-

1

x

≤0(x≥1)，可得h（x）在區間[1，+∞）上單調遞減，
故h（x）在x=1處取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，
故a的取值范圍為：[1，+∞）
（Ⅲ）假設存在這樣的切線，設切點T（x₀，lnx0-

x0-1

x0

），
∴切線方程：y+1=

x0-1

x02

(x-1)，將點T坐標代入得：lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x02

即lnx0+

3

x0

-

1

x02

-1=0，①
設g（x）=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，則g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

∵x＞0，∴g（x）在區間（0，1），（2，+∞）上是增函數，在區間（1，2）上是減函數，
故g（x）_極大=g（1）=1＞0，故g（x）_極，小=g（2）=ln2+

1

4

＞0，．
又g（

1

4

）=ln

1

4

+12-6-1=-ln4-3＜0，
由g（x）在其定義域上的單調性知：g（x）=0僅在（

1

4

，1）內有且僅有一根，
方程①有且僅有一解，
故符合條件的切線有且僅有一條．

點評：本題為函數與導數的綜合，涉及不等式的解法和函數恒成立問題以及切線問題，屬中檔題．