Question

如圖，、為圓柱的母線，是底面圓的直徑，、分別是、的中點，．
（1）證明：；
（2）求四棱錐與圓柱的體積比；
（3）若，求與面所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）證明：連結，.分別為的中點，∴.
又，且.∴四邊形是平行四邊形，
即. ∴.   ………………………4分
（2）由題，且由（1）知.∴，∴ ，∴.
因是底面圓的直徑，得，且，
∴，即為四棱錐的高．設圓柱高為，底半徑為，
則，
∴：. ………………………9分
（3）解一：由(1)(2)可知，可分別以為坐標軸建立空間直角標系，如圖
設，則，，，從而，
，由題，是面的法向量，設所求的角為.
則. …………………14分
解二：作過的母線，連結，則是上底面圓的直徑，連結，
得，又，∴，連結，
則為與面所成的角，設，則
，.……12分
在中，

略