Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓 的離心率為 ，直線y=x被橢圓C截得的線段長為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點的直線與橢圓C交于兩點（A，B不是橢圓C的頂點），點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點．設直線BD，AM斜率分別為k1 ， k2 ， 證明存在常數λ使得k1=λk2 ， 并求出λ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，e= = ，a2﹣b2=c2，

則a2=4b2．

則橢圓C的方程可化為x2+4y2=a2．

將y=x代入可得x=± a，

因此 a= ，解得a=2，則b=1．

∴橢圓C的方程為 +y2=1；

（Ⅱ）設A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），

則B（﹣x1，﹣y1）．

∵直線AB的斜率kAB= ，

又AB⊥AD，

∴直線AD的斜率kAD=﹣ ．

設AD方程為y=kx+m，

由題意知k≠0，m≠0．

聯立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．

∴x1+x2=﹣ ．

因此y1+y2=k（x1+x2）+2m= ．

由題意可得k1= =﹣ = ．

∴直線BD的方程為y+y1= （x+x1）．

令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．

可得k2=﹣ ．

∴k1=﹣ k2，即λ=﹣ ．

因此存在常數λ=﹣ 使得結論成立

【解析】（Ⅰ）由橢圓離心率得到a，b的關系，化簡橢圓方程，和直線方程聯立后求出交點的橫坐標，把弦長用交點橫坐標表示，則a的值可求，進一步得到b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設出A，D的坐標分別為（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐標表示B的坐標，把AB和AD的斜率都用A的坐標表示，寫出直線AD的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系得到AD橫縱坐標的和，求出AD中點坐標，則BD斜率可求，再寫出BD所在直線方程，取y=0得到M點坐標，由兩點求斜率得到AM的斜率，由兩直線斜率的關系得到λ的值．