Question

如圖，已知四棱錐S―ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內，且O到AB、AD的距離分別為2和1.

   （I）求證是定值；

   （II）已知P是SC的中點，且SO=3，問在棱SA上是否存在一點Q，使得異面直線OP與BQ所成的角為90°？若存在，請給出證明，并求出AQ的長；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解：法一：（I）以O為坐標原點，以OS所在直線為Oz軸，過O且平行于AD的直線為Ox軸.過O且平行于AB的直線為Oy軸，建立如圖所示空間直角坐標系

    設S（0，0，z）（z>0，z∈R）

    則

   

    即為定值

   （II）由（I）建立的空間直角坐標系可知

    A（2，－1，0），B（2，3，0）C（－2，3，0），S（0，0，3）

P（－1，）

設點Q（x，y，z），則存在λ使

法二：（I）證明：在△SDC內，作SE⊥CD交CD于E，連結OE

∵SO⊥平面ABCD  ∴SO⊥CD

∴CD⊥平面SOE   ∴SO⊥OE

∴OE//AD  ∴DE=1

從而CE=3

即為定值

   （II）利用其它方法求解同樣可得分