Question

直線l與拋物線相交于A，B兩點，F是拋物線的焦點．
（1）求證：“如果直線l過點T（3，0），那么

OA

•

OB

=-3”是真命題
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是拋物線上三點，且|AF|，|BF|，|DF|成等差數列．當AD的垂直平分線與x軸交于點T（3，0）時，求點B的坐標．

Answer 1

分析：（1）設出A，B兩點的坐標根據向量的點乘運算求證即可，（2）由|AF|，|BF|，|DF|成等差數列，則2|BF|=|AF|+|DF|，即，從而問題可解．

解答：解：（1）設過點T（3，0）的直線l交拋物線y²=4x于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
當直線l的鈄率不存在時，直線l的方程為x=3，
此時，直線l與拋物線相交于點A（3，2

3

）、B（3，-2

3

）．
∴

OA

OB

=-3
當直線l的鈄率存在時，設直線l的方程為y=k（x-3），其中k≠0，
由

y2=4x y=k(x-3)

得ky²-4y-12k=0⇒y₁y₂=-12
又∵x1=

1

4

y12，x2=

1

4

y22∴

OA

OB

=-3，
綜上所述，命題“如果直線l過點T（3，0），那么

OA

OB

=-3”是真命題；
綜上，命題成立．
（2）由|AF|，|BF|，|DF|成等差數列，則2|BF|=|AF|+|DF|，即2x₂=x₁+x₃
直線AD斜率k=

y3-y1

x3-x1

 =

4

y3+y1

所以y3+y1=

4

k

，設AD中點為(x2，

2

k

)
故AD的垂直平分線為y-

2

k

=-

1

k

(x-x2)
令y=0，得x=2+x₂，∴x₂=1，代入y²=4x得y=±2，故B（1，2）或B（1，-2）

點評：本題考查了真假命題的證明，但要知道向量點乘運算的知識．