Question

如圖，F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，Q是準線與x軸的交點，斜率為k的直線l經過點Q．
（1）當K取不同數值時，求直線l與拋物線交點的個數；
（2）如直線l與拋物線相交于A、B兩點，求證：K_FA+K_FB是定值
（3）在x軸上是否存在這樣的定點M，對任意的過點Q的直線l，如l
與拋物線相交于A、B兩點，均能使得k_MA•k_MB為定值，有則找出滿足條
件的點M；沒有，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）設l：y=k(x+

p

2

)代入y²=2px，得：k2x2+p(k2-2)x+

k2p2

4

=0，
然后結合k的取值和根的判別式求直線l與拋物線交點的個數．

（2）設交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），kFA+kFB=

y1

x1- p 2

+

y2

x2- p 2

=

k(x1+ p 2 )(x2- p 2 )+k(x2+ p 2 )(x1- p 2 )

(x1- p 2 )(x2- p 2 )

，
由此可求出K_FA+K_FB是定值0．

（3）如存在滿足條件的點M（t，0），
使得K_MA•K_MB=

k2[x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4 ]

x1x2-t(x1+x2)+t2

=

p2

p2 4 +t(t+p- 2p k2 )

，
僅當t=0，即M（0，0）時，K_MA•K_MB=4．

解答：解：（1）設l：y=k(x+

p

2

)代入y²=2px
得：k2x2+p(k2-2)x+

k2p2

4

=0（*）1⁰k=0，一個交點，2⁰k≠0，△=-4p²（k²-1），
△＞0，即k∈（-1，0）∪（0，1）兩個交點
△=0，k=±1時一個交點
△＜0，k＜-1或k＞1無交點
（2）設交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
kFA+kFB=

y1

x1- p 2

+

y2

x2- p 2

=

k(x1+ p 2 )(x2- p 2 )+k(x2+ p 2 )(x1- p 2 )

(x1- p 2 )(x2- p 2 )

=

2k(x1x2- p2 4 )

(x1- p 2 )(x2- p 2 )

=0，
斜率和為定值0
（3）如存在滿足條件的點M（t，0），使得K_MA•K_MB為定值，
KMA•KMB=

y1

x1-t

•

y2

x2-t

=

k2(x1+ p 2 )(x2+ p 2 )

(x1-t)(x2-t)

=

k2[x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4 ]

x1x2-t(x1+x2)+t2

=

p2

p2 4 +t(t+p- 2p k2 )

僅當t=0，即M（0，0）時，K_MA•K_MB=4

點評：本題考查橢圓的性質及其綜合運用，解題時要注意公式的靈活運用．