已知數列
，
滿足
，
，
，
．
（1）求證：數列
是等差數列，并求數列
的通項公式；
（2）設數列
滿足
，對于任意給定的正整數
，是否存在正整數
，
(
)，使得
，
，
成等差數列？若存在，試用
表示，
；若不存在，說明理由．
（1）
，（2）當
時，不存在
，
滿足題設條件；當
時，存在
，
，滿足題設條件．
解析試題分析：（1）求證數列
是等差數列，就是確定
為一個常數.因此首先得到關于
與
的關系式，因為
，所以
，則
，然后按提示，將所求關系式進行變形，即取倒數，得：
，又
，所以
，故是首項為
，公差為
的等差數列，即
，所以.（2）先明確數列
，由(1)得
，所以
，然后假設存在，得一等量關系：若
，
，
成等差數列，則
，如何變形，是解題的關鍵，這直接影響解題方向.題中暗示，用p表示，所以由
得：
.令
得，因為要
，所以分情況討論，當時，
，，，成等差數列不成立．當時，
，
，即
．
試題解析：（1）因為，所以，
則
， 2分
所以，
又，所以，故是首項為，公差為的等差數列， 4分
即，所以． 6分
（2）由（1）知，所以，
①當時，
，
，
，
若，，成等差數列，則
（
），
因為
，所以
，
，
，
，
所以（）不成立．
一線名師提優試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（12分）（2011•重慶）設實數數列{an}的前n項和Sn滿足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．
（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比數列，求S2和a3．
（Ⅱ）求證：對k≥3有0≤ak≤
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（2013•湖北）已知等比數列{an}滿足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）是否存在正整數m，使得
？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
學校餐廳每天供應500名學生用餐，每星期一有A, B兩種菜可供選擇。調查表明，凡是在這星期一選A菜的，下星期一會有
改選B菜;而選B菜的，下星期一會有
改選A菜。用
分別表示第
個星期選A的人數和選B的人數.
⑴試用
表示
，判斷數列
是否成等比數列并說明理由;
⑵若第一個星期一選A種菜的有200人，那么第10個星期一選A種菜的大約有多少人?
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
若函數
滿足：集合
中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數是等比源函數.
（1）判斷下列函數：①
；②
中，哪些是等比源函數？（不需證明）
（2）證明：函數
是等比源函數；
（3）判斷函數
是否為等比源函數，并證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設數列{an}前n項和為Sn,數列{Sn}的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
(1)求a1的值.
(2)求數列{an}的通項公式.
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的首項
，
，
，
為等比數列；
，求最大的正整數
.
；
，求Tn的最大值及此時n的值.
前n項和為
，首項為
，且
等差數列。
，設
，求數列
的前n項和
.