Question

已知橢圓

x2

a2

+y2=1（a＞0）的離心率為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0），若|AB|=

4 2

5

，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）根據離心率得出3a²=4c²以及c²=a²-b²，求出a、b的值；
（2）由A（-2，0），設B（x₁，y₁），直線l的方程為y=k（x+2），知A、B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

，再由|AB|=

4 2

5

，求出k的值，即可得到傾斜角．

解答：解：（1）由e=

c

a

=

3

2

，得3a²=4c²．再由c²=a²-b²，解得a=2b=2．
所以橢圓的方程為

x2

4

+y²=1．（4分）
（2）由（1）可知點A的坐標是（-2，0）．設點B的坐標為（x₁，y₁），
直線l的斜率為k．則直線l的方程為y=k（x+2）．
于是A、B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

消去y并整理，
得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

．（6分）
所以|AB|=

(-2- 2-8k2 1+4k2 )2+( 4k 1+4k2 )  2

=

4 1+k2

1+4k2

．
由|AB|=

4 2

5

，得

4 1+k2

1+4k2

=

4 2

5

整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=，解得k=±1．
經檢驗△＞0符合題意，所以直線l的傾斜角為

π

4

或

3π

4

．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線問題，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱條件，屬于難題．