Question

【題目】在平面直角坐標系中，，分別是橢圓的左、右焦點，直線與橢圓交于不同的兩點、，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經過橢圓的右焦點，是橢圓上兩點，四邊形是菱形，求直線的方程；

（3）已知直線不經過橢圓的右焦點，直線，，的斜率依次成等差數列，求直線在軸上截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由已知得：，問題得解；

（2）由已知可得：，設直線l方程為：，,，與橢圓方程聯立可得：，由韋達定理，得：，，最后由，可得：，代入解方程即可；

（3）設直線l方程為：，由已知可得：，即，化簡得：，有已知可得:，聯立直線與橢圓方程得：，由，

和可求b的取值范圍.

（1）由可得：，

從而，所以橢圓方程為.

（2）由于四邊形是菱形，因此且.

由對稱性，在線段上. 因此，分別關于原點對稱；

并且由于菱形的對角線相互垂直，可得，即.

設直線l方程為：，且,

與橢圓方程聯立可得：，

，，

由，可得：

解得，即直線方程為.

（3）設直線l方程為：，

，由已知可得：

，即.

，

化簡得：.

若，則經過，不符合條件，

因此.

聯立直線與橢圓方程得：.

因為，即

由得：

將代入得：，

解得：

令，則

當時，，

在或上單調遞減，

或

所以b的取值范圍為：.