Question

（2007•肇慶二模）設函數f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1（x∈R）的最大值為M，最小正周期為T．
（Ⅰ）求M及T；
（Ⅱ）寫出f（x）的單調區間；
（Ⅲ）10個互不相等的正數x_i滿足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角、輔助角公式化簡函數，可得M及T；
（Ⅱ）利用正弦函數的單調性，可寫出f（x）的單調區間；
（Ⅲ）由f（x_i）=2，可得2xi+

π

6

=2kπ+

π

2

，xi=kπ+

π

6

(k∈Z)，從而可得結論．

解答：解：∵f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)（4分）
（Ⅰ）M=2，T=

2π

2

=π；                                       （6分）
（Ⅱ）f（x）的單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，（8分）
f（x）的單調減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)；         （10分）
（Ⅲ）∵f（x_i）=2，
∴2xi+

π

6

=2kπ+

π

2

，xi=kπ+

π

6

(k∈Z)，（12分）
又0＜x_i＜10π（i=1，2，…，10），
∴x1+x2+…+x10=(0+1+2+…+9)π+10×

π

6

=

140

3

π．（14分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．