Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）過點（ ，1），離心率為 ，直線l：y=k（x+1）與橢圓C相交于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在點M，使 + 是與k無關的常數？若存在，求出點M的坐標，并求出此常數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得e= = ，

點（ ，1）代入橢圓方程，可得 + =1，

又a2﹣b2=c2，

解得a= ，b= ，

則橢圓C的方程為 + =1，

即x2+3y2=5；

（2）解：在x軸上存在點M（ ，0），使 + 是與k無關的常數．

證明：假設在x軸上存在點M（m，0），使 + 是與k無關的常數，

將直線l的方程y=k（x+1），代入橢圓方程x2+3y2=5，

得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；

設A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），

則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

由 =（x1﹣m，y1）， =（x2﹣m，y2），

可得 + =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2+

=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1+1）（x2+1）+

=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2+

=（k2+1） ，+（k2﹣m）（﹣ ）+k2+m2+

= ，

設常數為t，則 =t，

整理得（3m2+6m﹣1﹣3t）k2+m2﹣t=0對任意的k恒成立，

即有 ，解得m= ，

即在x軸上存在點M（ ，0），使 + 是與k無關的常數

【解析】（1）利用橢圓的離心率公式，將點（ ，1）代入橢圓方程，求得橢圓的a，b，即可求橢圓的方程；（2）假設存在點M符合題意，設AB為y=k（x+1），代入橢圓方程可得關于x的一元二次方程，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（m，0），利用韋達定理，向量的數量積的坐標表示，由恒成立思想，建立方程組，即可求得結論．