Question

（本小題滿分12分）如圖，平面，四邊形是正方形， ，點、、分別為線段、和的中點.

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；
（Ⅱ）在線段上是否存在一點，使得點到平面的距離恰為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）.（2）在線段上存在一點滿足條件，且長度為.

由題意得射線 AB、AD、AP兩兩垂直，可以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，借助于向量求解。（1）要注意異面直線與所成角的余弦值非負；（2）設存在點，，由點到平面的距離恰為，可得根據兩點間的距離公式得
（1）以點為坐標原點，射線AB、AD、AP分別為的正半軸建立空間直角坐標系（如右圖所示），則點、、、，則，.設異面直線與所成角為

,
所以異面直線與所成角的余弦值為.
（2）假設在線段上存在一點滿足條件，設點，平面的法向量為
，則有 得到，取，所以，則，又，解得，所以點即，則.所以在線段上存在一點滿足條件，且長度為.