Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面平面.，， 且點為的中點．

（1） 求證：平面；

（2） 求與平面所成角的正弦值；

（3） 在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）（3）不存在,理由見解析

【解析】

（1）根據菱形與矩形性質,可得,,因而.所以可知四邊形為平行四邊形.由中位線定理可證明,即可由線面平行判斷定理證明平面;

（2）根據題意建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,并求得和平面的法向量,即可求得與夾角的余弦值,即為與平面所成角的正弦值;

（3）假設線段上存在點,使二面角的大小為.設出點的坐標,并求得平面和平面的法向量,根據夾角為及向量數量積運算,求得的值,再判斷是否符合在線段上,即可說明.

（1）證明:因為四邊形是菱形,是矩形,

所以,

所以

所以四邊形為平行四邊形

設對角線的交點為,連接

由點為的中點,點為的中點

根據中位線定理可得,

又因為平面,平面,

所以平面.

（2）因為是矩形,且平面平面.

所以平面.

又因為

所以

則以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系

因為且點為的中點

則

則,

設平面的法向量為

則,代入可得

令,解得

所以

設直線與平面所成角為

則

即直線與平面所成角的正弦值為

（3）假設線段上存在點,使二面角的大小為.設

則

設平面的法向量為

則,代入可得

令,則

又因為平面的法向量為

所以由二面角的大小為

可得

解得

因為,所以不合題意

所以線段上不存在點,使二面角的大小為