Question

已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個(gè)映射，點(diǎn)P在映射f下的象為點(diǎn)Q，記作Q=f(P)，設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂=f(P₁)，P₃=f(P₂)，…，P_n=f(P_n-1)，…。如果存在一個(gè)圓，使所有的點(diǎn)P_n(x_n，y_n)(n∈N*)都在這個(gè)圓內(nèi)或圓上，那么稱這個(gè)圓為點(diǎn)P_n(x_n，y_n)的一個(gè)收斂圓。特別地，當(dāng)P₁=f(P₁)時(shí)，則稱點(diǎn)P₁為映射f下的不動(dòng)點(diǎn)，
(Ⅰ)若點(diǎn)P(x，y)在映射f下的象為點(diǎn)Q(2x，1-y)，
①求映射f下不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若P₁的坐標(biāo)為(1，2)，判斷點(diǎn)P_n(x_n，y_n)(n∈N*)是否存在一個(gè)半徑為3的收斂圓，并說(shuō)明理由；
(Ⅱ)若點(diǎn)P(x，y)在映射f下的象為點(diǎn)，P₁(2，3)，求證：點(diǎn)P_n(x_n，y_n)(n∈N*)存在一個(gè)半徑為的收斂圓。

Answer 1

（Ⅰ）①解：設(shè)不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意，得，解得，
所以映射f下不動(dòng)點(diǎn)為；
②結(jié)論：點(diǎn)P_n(x_n，y_n)不存在一個(gè)半徑為3的收斂圓。
證明：由，得，
所以，
則點(diǎn)P₁，P₄不可能在同一個(gè)半徑為3的圓內(nèi)，
所以點(diǎn)P_n(x_n，y_n)(n∈N*)不存在一個(gè)半徑為3的收斂圓。
（Ⅱ）證明：由，得，
由，得，
所以；
由，得，
所以，
即，
由，得，同理，
所以，
所以數(shù)列都是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為，
所以，
同理可得，
所以對(duì)任意n∈N*，，
設(shè)A（3，1），則，
所以，
故所有的點(diǎn)都在以A（3，1）為圓心，為半徑的圓內(nèi)或圓上，
即點(diǎn)存在一個(gè)半徑為的收斂圓。