Question

【題目】設等差數列的首項為0，公差為a，；等差數列的首項為0，公差為b，.由數列和構造數表M，與數表；

記數表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.

記數表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.

（1）設，，請計算，，；

（2）設，，試求，的表達式（用i，j表示），并證明：對于整數t，若t不屬于數表M，則t屬于數表；

（3）設，，對于整數t，t不屬于數表M，求t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）29

【解析】

（1）將，代入，可求出，，可代入求，，可求結果．

（2）可求，，通過反證法證明，

（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．

（1）由題意知等差數列的通項公式為：；

等差數列的通項公式為：，

得，

則，，

得，

故．

（2）證明：已知．，由題意知等差數列的通項公式為：；

等差數列的通項公式為：，

得，，．

得，，，．

所以若，則存在，，使，

若，則存在，，，使，

因此，對于正整數，考慮集合，，，

即，，，，，，．

下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數．

反證法：假設集合中任何一個元素，都不是7的倍數，則集合中每一元素關于7的余數可以為1，2，3，4，5，6，

又因為集合中共有7個元素，所以集合中至少存在兩個元素關于7的余數相同，

不妨設為，，其中，，．則這兩個元素的差為7的倍數，即，

所以，與矛盾，所以假設不成立，即原命題成立．

即集合中至少有一元素是7的倍數，不妨設該元素為，，，

則存在，使，，，即，，，

由已證可知，若，則存在，，使，而，所以為負整數，

設，則，且，，，，

所以，當，時，對于整數，若，則成立．

（3）下面用反證法證明：若對于整數，，則，假設命題不成立，即，且．

則對于整數，存在，，，，，使成立，

整理，得，

又因為，，

所以且是7的倍數，

因為，，所以，所以矛盾，即假設不成立．

所以對于整數，若，則，

又由第二問，對于整數，則，

所以的最大值，就是集合中元素的最大值，

又因為，，，，

所以．