Question

（本小題滿分12分）

如圖，三棱錐P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB．

(I) 求證：AB平面PCB；

(II) 求異面直線AP與BC所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角C-PA-B的正弦值

Answer 1

（本小題滿分12分）

解：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．

∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．

又，∴AB平面PCB．

(II) 過點A作AF//BC，且AF=BC，連結PF，CF．

則為異面直線PA與BC所成的角．

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CFAF．

由三垂線定理，得PFAF．

則AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴異面直線PA與BC所成的角為．

（III）取AP的中點E，連結CE、DE． ∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得  DE PA．

∴為二面角C-PA-B的平面角．

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

在中，PB=，．

    在中， sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B大小的正弦值是．